問題は、直角三角形ABCに関する2つの小問題から構成されています。 (1) 図(1)において、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値を求める。ただし、AC = 3, BC = 1とする。 (2) 図(2)において、BD, AD, $\tan C$ の値を求める。ただし、AB = AC = $4\sqrt{3}$、$\angle BAC = 30^\circ$、BDはACに対する垂線とする。

1. 問題の内容

問題は、直角三角形ABCに関する2つの小問題から構成されています。

(1) 図(1)において、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値を求める。ただし、AC = 3, BC = 1とする。

(2) 図(2)において、BD, AD, $\tan C$ の値を求める。ただし、AB = AC = $4\sqrt{3}$、$\angle BAC = 30^\circ$、BDはACに対する垂線とする。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABC$は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$である。

したがって、

$AB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

$\sin\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\tan\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$

(2)

$\triangle ABD$において、$\angle BAD = 30^\circ$であるから、$\angle ABD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$である。

$\triangle ABD$は$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$の直角三角形なので、$AB:AD:BD = 2:\sqrt{3}:1$となる。

$AB = 4\sqrt{3}$より、

$2x = 4\sqrt{3}$とすると、$x = 2\sqrt{3}$である。

したがって、

$AD = \sqrt{3}x = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 6$

$BD = x = 2\sqrt{3}$

$CD = AC - AD = 4\sqrt{3} - 6$

$\triangle BCD$は直角三角形なので、

$\tan C = \frac{BD}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3} - 6} = \frac{2\sqrt{3}}{2(2\sqrt{3} - 3)} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3} = \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3}+3)}{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)} = \frac{6+3\sqrt{3}}{12-9} = \frac{6+3\sqrt{3}}{3} = 2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\tan\theta = \frac{1}{3}$

(2)

$BD = 2\sqrt{3}$

$AD = 6$

$\tan C = 2+\sqrt{3}$