四面体 $ABCD$ において、$AD=2$, $BD=4$, $CD=6$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$である。 (1) 四面体 $ABCD$ の体積 $V$ を求める。 (2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。 (3) 頂点 $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ $d$ を求める。

1. 問題の内容

四面体 $ABCD$ において、$AD=2$, $BD=4$, $CD=6$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$である。

(1) 四面体 $ABCD$ の体積 $V$ を求める。

(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

(3) 頂点 $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ $d$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 四面体 $ABCD$ の体積 $V$ は、$D$を頂点とする三角錐と考えると、底面は直角三角形 $ADB$ と $ADC$ と $BDC$ で構成される。

$V = \frac{1}{6} AD \cdot BD \cdot CD$

$V = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 = 8$

(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

まず、$AB$, $BC$, $CA$ の長さを計算する。

$\triangle ADB$ において、$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\triangle ADC$ において、$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$\triangle BDC$ において、$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

ヘロンの公式より、$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{13}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{13})(\sqrt{10}+\sqrt{13}-\sqrt{5})(\sqrt{5} + \sqrt{10}-\sqrt{13})(\sqrt{5} + \sqrt{13}-\sqrt{10})} = 2\sqrt{29}$

しかし、別解として、三平方の定理を3次元に拡張した式を利用することができる。

$S^2 = S_{ADB}^2 + S_{ADC}^2 + S_{BDC}^2$

$S_{ADB} = \frac{1}{2}AD \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

$S_{ADC} = \frac{1}{2}AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$

$S_{BDC} = \frac{1}{2}BD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

$S^2 = 4^2 + 6^2 + 12^2 = 16 + 36 + 144 = 196$

$S = \sqrt{196} = 14$

(3) 頂点 $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ $d$ を求める。

体積 $V = \frac{1}{3} S \cdot d$

$8 = \frac{1}{3} \cdot 14 \cdot d$

$d = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $V = 8$

(2) $S = 14$

(3) $d = \frac{12}{7}$