三角形ABCにおいて、$AB=20$, $BC=10$, $AC=15$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。このとき線分BDの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=20$, $BC=10$, $AC=15$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。このとき線分BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線は、辺BCの延長と点Dで交わる。外角の二等分線の性質より、

$AB : AC = BD : CD$

が成り立つ。ここで、$BD = x$ とおくと、$CD = BC + BD = 10 + x$ となる。

したがって、

$20 : 15 = x : (10 + x)$

という比例式が成り立つ。

これを解くと、

$\frac{20}{15} = \frac{x}{10+x}$

$\frac{4}{3} = \frac{x}{10+x}$

$4(10+x) = 3x$

$40 + 4x = 3x$

$40 = -x + 3x$

$40 = -x$

$x = -40$

$40 + 4x = 3x$

$x= - 40$

間違い。

$20 : 15 = BD : CD$

$CD = BC + BD = 10+BD$

$20 : 15 = BD : (10+BD)$

$\frac{20}{15} = \frac{BD}{10+BD}$

$\frac{4}{3} = \frac{BD}{10+BD}$

$4(10+BD) = 3BD$

$40+4BD = 3BD$

$40 = -BD$

$BD = -40$

式を立て直す。

$AB : AC = BD : DC$

$20 : 15 = BD : (BD+10)$

$20 (BD+10) = 15 BD$

$20BD + 200 = 15 BD$

$5BD = -200$

$BD = -40$

何かが違う。外角の二等分線の定理を確認する。

$AB : AC = BD : CD$

$20 : 15 = x : (x+10)$

$20(x+10) = 15x$

$20x + 200 = 15x$

$5x = -200$

$x = -40$

外角の二等分線の定理において、DはBCの延長線上にあるので、$CD = BD - BC$である。

$20 : 15 = BD : (BD-10)$

$\frac{4}{3} = \frac{BD}{BD-10}$

$4(BD-10) = 3BD$

$4BD - 40 = 3BD$

$BD = 40$

3. 最終的な答え

線分BDの長さは40です。