三角形ABCがあり、その内部に点Oがある。角ABCから線分BOを引いた角度が$\alpha$で、角BACは25度、角BCAは45度である。このとき、$\alpha$の角度を求める。ただし、点Oは三角形ABCの外心である。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、その内部に点Oがある。角ABCから線分BOを引いた角度が$\alpha$で、角BACは25度、角BCAは45度である。このとき、$\alpha$の角度を求める。ただし、点Oは三角形ABCの外心である。

2. 解き方の手順

点Oは三角形ABCの外心なので、BOとCOはそれぞれ円の中心Oから円周上の点Bと点Cへの線分であり、円の半径となる。つまり、$BO = CO$である。

三角形BOCは二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB$となる。

三角形ABCにおいて、内角の和は180度なので、$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 45^{\circ} = 110^{\circ}$となる。

円周角の定理より、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 25^{\circ} = 50^{\circ}$となる。

三角形BOCにおいて、$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ}$なので、$\angle OBC + \angle OBC + 50^{\circ} = 180^{\circ}$となる。

$2 \angle OBC = 130^{\circ}$

$\angle OBC = 65^{\circ}$

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$であるから、$\angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = 110^{\circ} - 65^{\circ} = 45^{\circ}$となる。

$\alpha = \angle ABO$なので、$\alpha = 45^{\circ}$となる。

3. 最終的な答え

45°