ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ を満たすとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$, $|2\vec{a} + \vec{b}|$, および $\vec{a} - 2\vec{b}$ と $2\vec{a} + \vec{b}$ のなす角を $\theta$ としたときの $\cos\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ を満たすとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$, $|2\vec{a} + \vec{b}|$, および $\vec{a} - 2\vec{b}$ と $2\vec{a} + \vec{b}$ のなす角を $\theta$ としたときの $\cos\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。$|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ の両辺を2乗すると、

$$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 7^2$$

$$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 49$$

$$|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 49$$

$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$ を代入すると、

$$5^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(3^2) = 49$$

$$25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 36 = 49$$

$$61 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$$

$$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$$

次に、$|2\vec{a} + \vec{b}|$ を求めます。

$$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$$

$$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$$

$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ を代入すると、

$$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4(5^2) + 4(3) + 3^2$$

$$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 100 + 12 + 9 = 121$$

$$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{121} = 11$$

最後に、$\cos\theta$ を求めます。

$$\cos\theta = \frac{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} - 2\vec{b}| |2\vec{a} + \vec{b}|}$$

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$

$= 2(5^2) - 3(3) - 2(3^2)$

$= 50 - 9 - 18 = 23$

よって、

$$\cos\theta = \frac{23}{7 \cdot 11} = \frac{23}{77}$$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$|2\vec{a} + \vec{b}| = 11$

$\cos\theta = \frac{23}{77}$