正七角形について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。 (2) 対角線の本数を求めます。

1. 問題の内容

正七角形について、以下の2つの問題を解きます。

(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

(2) 対角線の本数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数:

正七角形の7つの頂点から3つの頂点を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式で計算できます。

組み合わせの公式は、n個からr個を選ぶとき、$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で表されます。

この問題では、$n = 7$、$r = 3$なので、

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ となります。

(2) 対角線の本数:

正七角形の頂点の数は7つです。それぞれの頂点から他の6つの頂点に線分を引くことができますが、そのうち隣り合う2つの頂点に引く線分は辺になるので、対角線ではありません。したがって、1つの頂点から引ける対角線の数は $7 - 3 = 4$ 本です。

7つの頂点からそれぞれ4本ずつの対角線を引くと、$7 \times 4 = 28$ 本となりますが、これは各対角線を2回ずつ数えていることになるので、2で割る必要があります。

したがって、対角線の本数は $\frac{7 \times 4}{2} = 14$ 本です。

あるいは、一般のn角形において、対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で表されます。n=7を代入すると、$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$となります。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数: 35個

(2) 対角線の本数: 14本