半径1、中心角$\frac{\pi}{3}$の扇形OABがある。弧AB上に2点P, Q、線分OA上に点S、線分OB上に点Rを四角形PQRSが長方形になるようにとる。 (1) $\angle AOP = \theta$とするとき、線分OSの長さを$\theta$で表せ。 (2) 長方形PQRSの面積を最大にする$\theta$およびそのときの面積を求めよ。

## 問題192

1. 問題の内容

半径1、中心角$\frac{\pi}{3}$の扇形OABがある。弧AB上に2点P, Q、線分OA上に点S、線分OB上に点Rを四角形PQRSが長方形になるようにとる。

(1) $\angle AOP = \theta$とするとき、線分OSの長さを$\theta$で表せ。

(2) 長方形PQRSの面積を最大にする$\theta$およびそのときの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

長方形PQRSにおいて、$PQ$は$OA$と平行なので、$\angle ROQ = \angle AOP = \theta$である。

$OR = OQ \cos \theta$であり、$OQ = 1$（扇形の半径）なので、

$OR = \cos \theta$である。

また、$OR = OS$ なので、

$OS = \cos \theta$

(2)

長方形PQRSの面積をSとする。

$PQ = OS \sin \theta$

$QR = OS = \cos \theta$

より、

$S = PQ \times QR = \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$

ここで、$\theta$の範囲を考える。

$\theta$は、0 < $\theta$ < $\frac{\pi}{3}$を満たす。

したがって、$0 < 2\theta < \frac{2\pi}{3}$

$S$が最大となるのは、$\sin 2\theta$が最大となるときであり、$\sin 2\theta = 1$、つまり $2\theta = \frac{\pi}{2}$の時である。

このとき、$\theta = \frac{\pi}{4}$となり、これは$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$を満たす。

このときの面積は、

$S = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $OS = \cos \theta$

(2) $\theta = \frac{\pi}{4}$、面積は$\frac{1}{2}$