座標平面上に3点 A(0, 1), B(0, 2), P(x, x) がある。ただし、$x > 0$ とする。$x$ が変化するとき、$\angle APB$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(0, 1), B(0, 2), P(x, x) がある。ただし、$x > 0$ とする。$x$ が変化するとき、$\angle APB$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle APB = \theta$ とおく。

$\overrightarrow{PA} = (-x, 1-x)$, $\overrightarrow{PB} = (-x, 2-x)$ である。

$\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|}$ を計算する。

$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = x^2 + (1-x)(2-x) = x^2 + 2 - 3x + x^2 = 2x^2 - 3x + 2$

$|\overrightarrow{PA}| = \sqrt{x^2 + (1-x)^2} = \sqrt{x^2 + 1 - 2x + x^2} = \sqrt{2x^2 - 2x + 1}$

$|\overrightarrow{PB}| = \sqrt{x^2 + (2-x)^2} = \sqrt{x^2 + 4 - 4x + x^2} = \sqrt{2x^2 - 4x + 4}$

よって、

$\cos\theta = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{\sqrt{(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 - 4x + 4)}} = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{\sqrt{4x^4 - 12x^3 + 14x^2 - 12x + 4}}$

$= \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{\sqrt{4(x^4 - 3x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 3x + 1)}} = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{2\sqrt{x^4 - 3x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 3x + 1}}$

ここで、$x>0$ より $t = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$t \ge 2$ であり、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ である。

$x^4 - 3x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 3x + 1 = x^2(x^2 - 3x + \frac{7}{2} - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}) = x^2((x^2 + \frac{1}{x^2}) - 3(x + \frac{1}{x}) + \frac{7}{2}) = x^2(t^2 - 2 - 3t + \frac{7}{2}) = x^2(t^2 - 3t + \frac{3}{2})$

$2x^2 - 3x + 2 = x(2x - 3 + \frac{2}{x}) = x(2(x + \frac{1}{x}) - 3) = x(2t - 3)$

$\cos\theta = \dfrac{x(2t - 3)}{2\sqrt{x^2(t^2 - 3t + \frac{3}{2})}} = \dfrac{2t - 3}{2\sqrt{t^2 - 3t + \frac{3}{2}}} = \dfrac{2t - 3}{\sqrt{4t^2 - 12t + 6}}$

$f(t) = 4t^2 - 12t + 6$ とおくと、$f'(t) = 8t - 12$ であり、$t = \frac{3}{2}$ で最小値をとるが、$t \ge 2$ なので、$t=2$ で最小値をとる。

$t = 2$ のとき、$x + \frac{1}{x} = 2$ より $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ より $x = 1$ である。

$\cos\theta = \dfrac{2(2) - 3}{\sqrt{4(2)^2 - 12(2) + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{16 - 24 + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{-2}}$ となり、$\cos\theta$ が定義できない。

$t = x + \frac{1}{x}$ でやり直す。

$\cos \theta = \dfrac{2x^2 - 3x + 2}{\sqrt{(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 - 4x + 4)}}$

$x = 1$ のとき、$\cos\theta = \dfrac{2 - 3 + 2}{\sqrt{(2 - 2 + 1)(2 - 4 + 4)}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \dfrac{\pi}{4}$

$\angle APB = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$ が最大値。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$