複素数平面上の3点A(2+i), B(6-i), C(4+yi)を頂点とする三角形ABCにおいて、∠A = $\frac{\pi}{2}$となるように、実数yの値を定める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A(2+i), B(6-i), C(4+yi)を頂点とする三角形ABCにおいて、∠A = $\frac{\pi}{2}$となるように、実数yの値を定める。

2. 解き方の手順

∠A = $\frac{\pi}{2}$であることは、ベクトルABとベクトルACが直交することを意味します。

ベクトルABとベクトルACに対応する複素数をそれぞれ求めます。

ベクトルABに対応する複素数は、(6-i) - (2+i) = 4 - 2i

ベクトルACに対応する複素数は、(4+yi) - (2+i) = 2 + (y-1)i

ベクトルABとベクトルACが直交するための条件は、(ベクトルAB) * (ベクトルACの共役) の実部が0になることです。

ベクトルACの共役は、2 - (y-1)i

(4-2i) * (2-(y-1)i) = 8 - 4(y-1)i - 4i + 2(y-1)i^2 = 8 - 4(y-1)i - 4i - 2(y-1) = 8 - 2(y-1) - [4(y-1) + 4]i

実部は、8 - 2(y-1) = 8 - 2y + 2 = 10 - 2y

したがって、10 - 2y = 0 を解くと、y = 5

3. 最終的な答え

y = 5