三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。 (1) Mを複素数平面上の原点とし、点A, B, Cの座標をそれぞれ$\alpha$, $\beta$, $\gamma$とする。$\gamma$を$\beta$を用いて表せ。 (2) 等式$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成り立つことを(1)を利用して証明せよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。

(1) Mを複素数平面上の原点とし、点A, B, Cの座標をそれぞれ$\alpha$, $\beta$, $\gamma$とする。$\gamma$を$\beta$を用いて表せ。

(2) 等式$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成り立つことを(1)を利用して証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

Mは辺BCの中点であるから、Mの座標は$\frac{\beta + \gamma}{2}$と表せる。

Mは複素数平面上の原点なので、

$\frac{\beta + \gamma}{2} = 0$

$\beta + \gamma = 0$

$\gamma = -\beta$

(2)

$AB^2 = |\alpha - \beta|^2 = (\alpha - \beta)(\overline{\alpha} - \overline{\beta}) = |\alpha|^2 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\beta|^2$

$AC^2 = |\alpha - \gamma|^2 = |\alpha - (-\beta)|^2 = |\alpha + \beta|^2 = (\alpha + \beta)(\overline{\alpha} + \overline{\beta}) = |\alpha|^2 + \alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta + |\beta|^2$

$AB^2 + AC^2 = 2|\alpha|^2 + 2|\beta|^2$

$AM^2 = |\alpha - 0|^2 = |\alpha|^2$

$BM^2 = |\beta - 0|^2 = |\beta|^2$

$2(AM^2 + BM^2) = 2(|\alpha|^2 + |\beta|^2) = 2|\alpha|^2 + 2|\beta|^2$

したがって、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\gamma = -\beta$

(2) $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成り立つ。