半径1、中心角$\frac{\pi}{3}$の扇形OABがある。弧AB上に2点P,Q、線分OA上に点S、線分OB上に点Rを四角形PQRSが長方形になるようにとる。 (1) $\angle AOP = \theta$とするとき、線分OSの長さを$\theta$で表せ。 (2) 長方形PQRSの面積を最大にする$\theta$およびそのときの面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径1、中心角$\frac{\pi}{3}$の扇形OABがある。弧AB上に2点P,Q、線分OA上に点S、線分OB上に点Rを四角形PQRSが長方形になるようにとる。

(1) $\angle AOP = \theta$とするとき、線分OSの長さを$\theta$で表せ。

(2) 長方形PQRSの面積を最大にする$\theta$およびそのときの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

長方形PQRSにおいて、$OS = PR$である。

$\triangle OPR$において、余弦定理を用いると、

$PR^2 = OP^2 + OR^2 - 2OP \cdot OR \cdot \cos{\angle POR}$

$OP = 1$（半径）、$\angle POR = \frac{\pi}{3} - \theta$、$\angle ORP = \frac{\pi}{2}$なので、

$OR = OP \cos{\angle POR} = \cos{(\frac{\pi}{3} - \theta)}$

よって、$PR^2 = 1^2 + \cos^2(\frac{\pi}{3} - \theta) - 2 \cdot 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) \cdot \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) = 1 - \cos^2(\frac{\pi}{3} - \theta)$

したがって、$PR = \sqrt{1 - \cos^2(\frac{\pi}{3} - \theta)} = \sin(\frac{\pi}{3} - \theta)$

$OS = PR = \sin(\frac{\pi}{3} - \theta)$

(2)

$PQ = OR = \cos(\frac{\pi}{3} - \theta)$

長方形PQRSの面積Sは、

$S = PQ \cdot PR = \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) \sin(\frac{\pi}{3} - \theta) = \frac{1}{2} \sin(2(\frac{\pi}{3} - \theta)) = \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{3} - 2\theta)$

$S$が最大となるのは$\sin(\frac{2\pi}{3} - 2\theta) = 1$のときである。

$\frac{2\pi}{3} - 2\theta = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{12}$

そのときの面積は$S = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $OS = \sin(\frac{\pi}{3} - \theta)$

(2) $\theta = \frac{\pi}{12}$, 面積 = $\frac{1}{2}$