## 問題の内容

## 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $F$、辺 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とする。辺 $BE$ と辺 $CF$ の交点を $P$ とする。このとき、$\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{3}{4} \vec{AC}$ である。さらに、直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると、$\vec{AD} = \frac{5}{6} \vec{AP}$ であり、$D$ は辺 $BC$ を $7:8$ に内分する点である。

(2) $O$ を原点とする座標空間に3点 $A(1,0,1), B(2,2,3), C(5,-3,8)$ をとる。$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = 9 10$、$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 11 12$ である。平面 $OAB$ 上に、直線 $CH$ と平面 $OAB$ が垂直になるよう、点 $H$ をとる。実数 $s, t$ により、$\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ と表すとき、$\vec{CH} \cdot \vec{OA} = 0$ かつ $\vec{CH} \cdot \vec{OB} = 0$ が成り立つことから、$s=13$, $t=14 15$ である。

## 解き方の手順

(1) メネラウスの定理、チェバの定理、ベクトルの分解などを用いて解く。

まず、$\vec{AP} = x\vec{AB} + y\vec{AC}$ とおく。

$CF$ に関して、メネラウスの定理より

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$1 \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BD}{DC} = 2$

したがって$BC$を2:1に内分する点をDとおくと$\vec{AD}=\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{3}$

$\frac{AP}{PD} = k$とおくと$\vec{AP} = \frac{1}{1+k}\vec{AD} = \frac{1}{3(1+k)}\vec{AB}+\frac{2}{3(1+k)}\vec{AC}$

これは$\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{3}{4} \vec{AC}$と一致しなければならない。

$\frac{1}{3(1+k)}=\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3(1+k)}=\frac{3}{4}$。

$\frac{2}{3(1+k)}=\frac{3}{4}より3(1+k)=\frac{8}{3}、1+k=\frac{8}{9}、k=-\frac{1}{9}$となって不適なので，これは間違っている。

チェバの定理を用いる。$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$。 $1 \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{1}{2} = 1$。$\frac{BD}{DC} = 2$。

$AD:DP = 6:1$だから、$\vec{AD} = \frac{3}{3} \vec{AB} + \frac{6}{9} \vec{AC}$. 故に$\vec{AD} = \frac{6}{7} \vec{AP}$. したがって$\vec{AP} = \frac{7}{6}\vec{AD}$となる。$\vec{AD} = \frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{3}$より$\vec{AP} = \frac{7}{18}\vec{AB}+\frac{14}{18}\vec{AC}=\frac{7}{18}\vec{AB}+\frac{7}{9}\vec{AC}$となる。

(2) ベクトルの内積を計算し、$\vec{CH} \cdot \vec{OA} = 0$ かつ $\vec{CH} \cdot \vec{OB} = 0$ から、$s$ と $t$ を求める。

$\vec{OA}=(1,0,1)$, $\vec{OB}=(2,2,3)$, $\vec{OC}=(5,-3,8)$

$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = (1)(5) + (0)(-3) + (1)(8) = 5 + 0 + 8 = 13$

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = (2)(5) + (2)(-3) + (3)(8) = 10 - 6 + 24 = 28$

$\vec{OH}=s\vec{OA} + t\vec{OB} = (s+2t, 2t, s+3t)$

$\vec{CH}=\vec{OH}-\vec{OC} = (s+2t-5, 2t+3, s+3t-8)$

$\vec{CH} \cdot \vec{OA} = (s+2t-5)(1) + (2t+3)(0) + (s+3t-8)(1) = 2s+5t-13 = 0$

$\vec{CH} \cdot \vec{OB} = (s+2t-5)(2) + (2t+3)(2) + (s+3t-8)(3) = 5s+16t-31 = 0$

連立方程式を解く:

$2s+5t=13$

$5s+16t=31$

$10s+25t = 65$

$10s+32t = 62$

$-7t=3$

$t = -\frac{3}{7}$

$2s+5(-\frac{3}{7})=13$

$2s-\frac{15}{7} = 13$

$14s - 15 = 91$

$14s = 106$

$s = \frac{53}{7}$

## 最終的な答え

(1)

$\vec{AP} = \frac{7}{18} \vec{AB} + \frac{7}{9} \vec{AC}$

$D$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点である。

(2)

$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = 13$

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 28$

$s = \frac{53}{7}$

$t = -\frac{3}{7}$