媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \frac{1+4t+t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{3+t^2}{1+t^2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 曲線 $C$ を $x, y$ の方程式で表す。 (2) 曲線 $C$ の概形を描く。 (3) 2定点 $F, F'$ と曲線 $C$ 上の点との距離の和が一定となるような点 $F, F'$ の座標を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \frac{1+4t+t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{3+t^2}{1+t^2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 曲線 $C$ を $x, y$ の方程式で表す。

(2) 曲線 $C$ の概形を描く。

(3) 2定点 $F, F'$ と曲線 $C$ 上の点との距離の和が一定となるような点 $F, F'$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ を $x, y$ の方程式で表す。

まず、$y$ の式を整理して $t^2$ を $y$ で表します。

$y = \frac{3+t^2}{1+t^2}$ より、

$y(1+t^2) = 3+t^2$

$y + yt^2 = 3 + t^2$

$yt^2 - t^2 = 3 - y$

$t^2(y-1) = 3-y$

$t^2 = \frac{3-y}{y-1}$

次に、$x$ の式に $t^2$ を代入します。

$x = \frac{1+4t+t^2}{1+t^2} = \frac{1+4t+\frac{3-y}{y-1}}{1+\frac{3-y}{y-1}} = \frac{1+4t+\frac{3-y}{y-1}}{\frac{y-1+3-y}{y-1}} = \frac{(y-1)(1+4t)+(3-y)}{2}$

$2x = y-1 + 4t(y-1) + 3 - y$

$2x = 2 + 4t(y-1)$

$x-1 = 2t(y-1)$

$t = \frac{x-1}{2(y-1)}$

これを $t^2 = \frac{3-y}{y-1}$ に代入します。

$(\frac{x-1}{2(y-1)})^2 = \frac{3-y}{y-1}$

$\frac{(x-1)^2}{4(y-1)^2} = \frac{3-y}{y-1}$

$(x-1)^2 = 4(y-1)^2 \frac{3-y}{y-1}$

$(x-1)^2 = 4(y-1)(3-y)$

$(x-1)^2 = 4(3y-y^2-3+y)$

$(x-1)^2 = 4(-y^2+4y-3)$

$(x-1)^2 = -4(y^2-4y+3)$

$(x-1)^2 = -4((y-2)^2 - 1)$

$(x-1)^2 = -4(y-2)^2 + 4$

$(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 4$

$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$

これは楕円の方程式です。

(2) 曲線 $C$ の概形を描く。

これは楕円の中心が $(1, 2)$, 長軸の長さが $2a = 4$, 短軸の長さが $2b = 2$ の楕円です。

(3) 2定点 $F, F'$ と曲線 $C$ 上の点との距離の和が一定となるような点 $F, F'$ の座標を求める。

楕円 $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$ の焦点の座標を求めます。

$a^2 = 4, b^2 = 1$ より、$c^2 = a^2 - b^2 = 4 - 1 = 3$

$c = \sqrt{3}$

中心が $(1, 2)$ なので、焦点の座標は $(1 \pm \sqrt{3}, 2)$ です。

$F = (1 + \sqrt{3}, 2)$, $F' = (1 - \sqrt{3}, 2)$

3. 最終的な答え

(1) 曲線 $C$ の方程式: $\frac{(x-1)^2}{4} + (y-2)^2 = 1$

(2) 曲線 $C$ の概形: 中心 $(1, 2)$, 長軸 $2a=4$, 短軸 $2b=2$ の楕円

(3) $F(1 + \sqrt{3}, 2), F'(1 - \sqrt{3}, 2)$