三角形ABCについて、以下のものを求めます。 (1) $\sin 60^\circ$ の値 (2) 三角形ABCの面積 (3) 辺ABの長さ (4) 三角形ABCの外接円の半径

1. 問題の内容

三角形ABCについて、以下のものを求めます。

(1) $\sin 60^\circ$ の値

(2) 三角形ABCの面積

(3) 辺ABの長さ

(4) 三角形ABCの外接円の半径

2. 解き方の手順

(1) $\sin 60^\circ$ の値を求める。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) 三角形ABCの面積を求める。

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin \angle ACB$

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times \sin 120^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$

(3) 辺ABの長さを求める。

余弦定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos \angle ACB$

$AB^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \times 4 \times 7 \times \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$

$AB^2 = 16 + 49 - 56 \times (-\frac{1}{2}) = 16 + 49 + 28 = 93$

$AB = \sqrt{93}$

(4) 三角形ABCの外接円の半径を求める。

正弦定理より、外接円の半径Rは、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$

$\frac{\sqrt{93}}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\frac{\sqrt{93}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{93}}{\sqrt{3}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{31}\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2R$

$2\sqrt{31} = 2R$

$R = \sqrt{31}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) 三角形ABCの面積 = $7\sqrt{3}$

(3) 辺ABの長さ = $\sqrt{93}$

(4) 三角形ABCの外接円の半径 = $\sqrt{31}$