各辺の長さが1の平行六面体において、ベクトル $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$, $\angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$ とする。 (1) 平行四辺形 OAPB の面積を求める。 (2) 点 C から平行四辺形 OAPB に下した垂線と平行四辺形 OAPB との交点を H とするとき、ベクトル $\overrightarrow{CH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の1次結合で表し、また $|\overrightarrow{CH}|$ を求める。 (3) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

各辺の長さが1の平行六面体において、ベクトル $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$, $\angle AOC = \angle BOC = \frac{\pi}{4}$ とする。

(1) 平行四辺形 OAPB の面積を求める。

(2) 点 C から平行四辺形 OAPB に下した垂線と平行四辺形 OAPB との交点を H とするとき、ベクトル $\overrightarrow{CH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の1次結合で表し、また $|\overrightarrow{CH}|$ を求める。

(3) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形 OAPB の面積は、 $|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\angle AOB}$ で求められる。 $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ より、面積は $1 \cdot 1 \cdot \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

(2) ベクトル $\overrightarrow{CH}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直である。

$\overrightarrow{CH} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$ とおくと、

$\overrightarrow{CH} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\overrightarrow{CH} \cdot \vec{b} = 0$。

$\overrightarrow{CH} \cdot \vec{a} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) = s + t \cos{\frac{\pi}{3}} - \cos{\frac{\pi}{4}} = s + \frac{1}{2}t - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$。

$\overrightarrow{CH} \cdot \vec{b} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - (\vec{c} \cdot \vec{b}) = s \cos{\frac{\pi}{3}} + t - \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}s + t - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$。

連立方程式を解くと、$s = t = \frac{\sqrt{2}}{3}$。

よって、$\overrightarrow{CH} = \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}$。

ここで、HはOAPB上にあるから、$\overrightarrow{OH}= u\vec{a}+v\vec{b}$とおける。

$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OC} = u\vec{a} + v\vec{b} - \vec{c}$. $\overrightarrow{CH}$は$\vec{a}$にも$\vec{b}$にも垂直であるから、

$\overrightarrow{CH} \cdot \vec{a} = 0$ and $\overrightarrow{CH} \cdot \vec{b} = 0$

$(u\vec{a}+v\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{a} = u + v \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = u + \frac{v}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}=0$

$(u\vec{a}+v\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{b} = u \cos(\frac{\pi}{3}) + v - \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{u}{2} + v - \frac{\sqrt{2}}{2} =0$

$2u + v = \sqrt{2}$ and $u + 2v = \sqrt{2}$

$u = v = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$\overrightarrow{OH} = \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b}$

$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OC} = \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b}-\vec{c}$

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{CH} = 0 \iff (\frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b}-\vec{c})\cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{3}\cos(\frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

$|\overrightarrow{CH}|^2=|\frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a}+\frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b}-\vec{c}|^2$

$=(\frac{\sqrt{2}}{3})^2|\vec{a}|^2+(\frac{\sqrt{2}}{3})^2|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\frac{\sqrt{2}}{3})(\frac{\sqrt{2}}{3})\vec{a}\cdot\vec{b}-2(\frac{\sqrt{2}}{3})\vec{a}\cdot\vec{c}-2(\frac{\sqrt{2}}{3})\vec{b}\cdot\vec{c}$

$=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+1+2(\frac{2}{9})(\frac{1}{2})-2(\frac{\sqrt{2}}{3})\frac{\sqrt{2}}{2}-2(\frac{\sqrt{2}}{3})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+1+\frac{2}{9}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2+2+9+2-6-6}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

$|\overrightarrow{CH}|=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(3) 平行六面体の体積は、スカラー三重積 $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ で求められる。

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| \sqrt{1 - \cos^2\alpha - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$

ここで $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{4}$, $\gamma = \frac{\pi}{4}$。

体積 $= \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})} = \sqrt{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4 - 1 - 2 - 2 + 2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形 OAPB の面積: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\overrightarrow{CH} = \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{a} + \frac{\sqrt{2}}{3}\vec{b} - \vec{c}$, $|\overrightarrow{CH}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) 平行六面体の体積: $\frac{1}{2}$