ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ の両方に直交する、大きさが1のベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ の両方に直交する、大きさが1のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

2次元ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交するベクトルは、3次元空間において外積を計算することで求められる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を3次元ベクトルとして扱い、z成分を0とする。

$\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} (1)(0) - (0)(-1) \\ (0)(2) - (0)(0) \\ (0)(-1) - (1)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$

得られたベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ の大きさを求める。

$\left\| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} \right\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

大きさが1のベクトルを求めるために、得られたベクトルをその大きさで割る。

$\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交するベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ である。もう一つの解は、符号を反転させた $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。

問題文は2次元ベクトルであるため、直交するベクトルはz軸方向のベクトルである。したがって、2次元空間では存在しない。しかし、外積を使って求めたベクトルをz軸方向に持つ単位ベクトルとして考える。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$