立方体OAFB-CDGEにおいて、$\vec{a} = \vec{OA}$、$\vec{b} = \vec{OB}$、$\vec{c} = \vec{OC}$とする。点Hは辺DGの中点である。 以下のベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。 (1) $\vec{OD}$ (2) $\vec{DE}$ (3) $\vec{CH}$ (4) $\vec{OH}$

1. 問題の内容

立方体OAFB-CDGEにおいて、$\vec{a} = \vec{OA}$、$\vec{b} = \vec{OB}$、$\vec{c} = \vec{OC}$とする。点Hは辺DGの中点である。

以下のベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

(1) $\vec{OD}$

(2) $\vec{DE}$

(3) $\vec{CH}$

(4) $\vec{OH}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OD}$について

$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD}$

ここで、$\vec{AD} = \vec{BC}$ であり、$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \vec{c} - \vec{b}$である。

よって、$\vec{AD} = \vec{c} - \vec{b}$

したがって、$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

(2) $\vec{DE}$について

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD}$

$\vec{OE} = \vec{OB} + \vec{BE} = \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD} = \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$

したがって、$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = (\vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = -\vec{a} + 2\vec{b}$

(3) $\vec{CH}$について

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC}$

ここで、HはDGの中点なので、$\vec{OH} = \frac{1}{2}(\vec{OD} + \vec{OG})$である。

$\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AG} = \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{CG} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{OD} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{OH} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}(2\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

したがって、$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{c} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}$

(4) $\vec{OH}$について

(3)より$\vec{OH} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OD} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

(2) $\vec{DE} = -\vec{a} + 2\vec{b}$

(3) $\vec{CH} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}$

(4) $\vec{OH} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$