$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1, -1 - 1, 1 - (-1)) = (0, -2, 2)$ $\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 1, 1 - (-1), -1 - 1) = (0, 2, -2)$

## 問題の解答

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1. 問題の内容

2. 3点 $A(1, 1, -1)$, $B(1, -1, 1)$, $C(1, 1, -1)$ が与えられている。ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

3. (1) ベクトル $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ と $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

(2) ベクトル $\vec{a} = (1, -1, -2)$ と $\vec{b} = (1, 2, 1)$ のなす角 $\varphi$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

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2. の問題

1. $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1, -1 - 1, 1 - (-1)) = (0, -2, 2)$

$\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 1, 1 - (-1), -1 - 1) = (0, 2, -2)$

2. $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ の外積を計算する。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-2) - (2)(2) \\ (2)(0) - (0)(-2) \\ (0)(2) - (-2)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 4 \\ 0 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

外積がゼロベクトルなので、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{BC}$は平行です。問題文に誤りがある可能性があります。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が垂直であるとして問題を解きます。

$\overrightarrow{AC} = C - A = (1-1, 1-1, -1-(-1)) = (0,0,0)$.

$\overrightarrow{AC}$ もゼロベクトルなので、問題文に誤りがあります。ここではベクトル $\overrightarrow{AB}$ に垂直で、$z$成分が正の単位ベクトルを求めます。

$\overrightarrow{AB}=(0, -2, 2)$ に垂直なベクトルを $\vec{n} = (x,y,z)$ とすると、$\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0$ より、$-2y + 2z = 0$ すなわち $y = z$ となります。よって、$\vec{n} = (x, y, y)$ と表せます。単位ベクトルなので、$|\vec{n}| = 1$ より、$x^2 + y^2 + y^2 = 1$ となり、$x^2 + 2y^2 = 1$ です。

$x=1, y=0$ のとき $\vec{n} = (1, 0, 0)$、

$x=0, y=1/\sqrt{2}$ のとき $\vec{n} = (0, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ となり、これは$z$成分が正の単位ベクトルです。

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3. (1) の問題

1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = -1 + 3 = 2$

2. $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

3. $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いて $\cos \theta$ を計算する。

$\cos \theta = \frac{2}{(2)(2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. $\theta$ を求める。

$\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$)

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3. (2) の問題

1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(2) + (-2)(1) = 1 - 2 - 2 = -3$

2. $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

3. $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いて $\cos \varphi$ を計算する。

$\cos \varphi = \frac{-3}{(\sqrt{6})(\sqrt{6})} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

4. $\varphi$ を求める。

$\varphi = \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$ (または $120^\circ$)

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3. 最終的な答え

2. 問題文に誤りがあるため、$\overrightarrow{AB}$ に垂直で、$z$成分が正の単位ベクトルの一つは $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

3. (1) $\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) $\varphi = \frac{2\pi}{3}$