与えられた4つの直線について、原点(0,0)と点(1,2)からの距離をそれぞれ求める。 (1) $y = 3x + 1$ (2) $4x + 3y = 2$ (3) $y = 4$ (4) $x = -1$

1. 問題の内容

与えられた4つの直線について、原点(0,0)と点(1,2)からの距離をそれぞれ求める。

(1) $y = 3x + 1$

(2) $4x + 3y = 2$

(3) $y = 4$

(4) $x = -1$

2. 解き方の手順

直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x_0, y_0)$ の距離 $d$ は、次の公式で求められる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) $y = 3x + 1$ を $3x - y + 1 = 0$ と変形する。

* 原点(0,0)との距離:

$d = \frac{|3(0) - (0) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

* 点(1,2)との距離:

$d = \frac{|3(1) - (2) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - 2 + 1|}{\sqrt{10}} = \frac{|2|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) $4x + 3y = 2$ を $4x + 3y - 2 = 0$ と変形する。

* 原点(0,0)との距離:

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$

* 点(1,2)との距離:

$d = \frac{|4(1) + 3(2) - 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4 + 6 - 2|}{\sqrt{25}} = \frac{|8|}{5} = \frac{8}{5}$

(3) $y = 4$ を $y - 4 = 0$ と変形する。または $0x + y - 4 = 0$と変形する。

* 原点(0,0)との距離:

$d = \frac{|0(0) + (0) - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1}} = \frac{4}{1} = 4$

* 点(1,2)との距離:

$d = \frac{|0(1) + (2) - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 4|}{\sqrt{1}} = \frac{|-2|}{1} = 2$

(4) $x = -1$ を $x + 1 = 0$ と変形する。または $x + 0y + 1 = 0$と変形する。

* 原点(0,0)との距離:

$d = \frac{|(0) + 0(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$

* 点(1,2)との距離:

$d = \frac{|(1) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 1|}{\sqrt{1}} = \frac{|2|}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 原点からの距離: $\frac{\sqrt{10}}{10}$, 点(1,2)からの距離: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) 原点からの距離: $\frac{2}{5}$, 点(1,2)からの距離: $\frac{8}{5}$

(3) 原点からの距離: $4$, 点(1,2)からの距離: $2$

(4) 原点からの距離: $1$, 点(1,2)からの距離: $2$