2点A(-4, 2), B(3, -8) を結ぶ線分ABに対して、次の点の座標を求めよ。 (1) 3:1に内分する点 (2) 2:3に内分する点 (3) 3:1に外分する点 (4) 2:3に外分する点 (5) 中点

はい、承知いたしました。画像にある問題４を解きます。

1. 問題の内容

2点A(-4, 2), B(3, -8) を結ぶ線分ABに対して、次の点の座標を求めよ。

(1) 3:1に内分する点

(2) 2:3に内分する点

(3) 3:1に外分する点

(4) 2:3に外分する点

(5) 中点

2. 解き方の手順

内分点、外分点の公式を使って計算します。2点 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ に対して、線分ABを$m:n$に内分する点の座標は

$$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$$

外分する点の座標は

$$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$$

で与えられます。

また、中点の座標は

$$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$$

です。

(1) 3:1に内分する点

$$x = \frac{1 \cdot (-4) + 3 \cdot 3}{3+1} = \frac{-4+9}{4} = \frac{5}{4}$$

$$y = \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot (-8)}{3+1} = \frac{2-24}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$$

(2) 2:3に内分する点

$$x = \frac{3 \cdot (-4) + 2 \cdot 3}{2+3} = \frac{-12+6}{5} = \frac{-6}{5}$$

$$y = \frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot (-8)}{2+3} = \frac{6-16}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$

(3) 3:1に外分する点

$$x = \frac{-1 \cdot (-4) + 3 \cdot 3}{3-1} = \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2}$$

$$y = \frac{-1 \cdot 2 + 3 \cdot (-8)}{3-1} = \frac{-2-24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$$

(4) 2:3に外分する点

$$x = \frac{-3 \cdot (-4) + 2 \cdot 3}{2-3} = \frac{12+6}{-1} = -18$$

$$y = \frac{-3 \cdot 2 + 2 \cdot (-8)}{2-3} = \frac{-6-16}{-1} = \frac{-22}{-1} = 22$$

(5) 中点

$$x = \frac{-4+3}{2} = -\frac{1}{2}$$

$$y = \frac{2+(-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{5}{4}, -\frac{11}{2})$

(2) $(-\frac{6}{5}, -2)$

(3) $(\frac{13}{2}, -13)$

(4) $(-18, 22)$

(5) $(-\frac{1}{2}, -3)$