(1) 直線 $\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2}$ かつ $y=1$ をパラメータ表示せよ。 (2) 2点 A(2, -1, 3), B(4, 2, 3) を通る直線 $m$ の方程式を求めよ。 (3) 平面 $y - 2z + 1 = 0$ をパラメータ表示せよ。 (4) 3点 P(1, -5, 2), Q(3, 1, -1), R(1, -2, 0) を含む平面 $\beta$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2}$ かつ $y=1$ をパラメータ表示せよ。

(2) 2点 A(2, -1, 3), B(4, 2, 3) を通る直線 $m$ の方程式を求めよ。

(3) 平面 $y - 2z + 1 = 0$ をパラメータ表示せよ。

(4) 3点 P(1, -5, 2), Q(3, 1, -1), R(1, -2, 0) を含む平面 $\beta$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2} = t$ とおくと、

$x = 3t - 2$

$z = 2t$

よって、パラメータ表示は

$(x, y, z) = (3t - 2, 1, 2t)$

(2)

直線 $m$ の方向ベクトルは $\vec{AB} = (4-2, 2-(-1), 3-3) = (2, 3, 0)$

直線 $m$ の方程式は、点Aを通るとして

$\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}, z=3$

(3)

$y - 2z + 1 = 0$ より、$y = 2z - 1$

$x = s$, $z = t$ とおくと、

$(x, y, z) = (s, 2t - 1, t)$

(4)

$\vec{PQ} = (3-1, 1-(-5), -1-2) = (2, 6, -3)$

$\vec{PR} = (1-1, -2-(-5), 0-2) = (0, 3, -2)$

法線ベクトル $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (6(-2) - (-3)(3), (-3)(0) - (2)(-2), 2(3) - 6(0)) = (-12+9, 0+4, 6-0) = (-3, 4, 6)$

よって、平面 $\beta$ の方程式は $-3(x-1) + 4(y+5) + 6(z-2) = 0$

$-3x + 3 + 4y + 20 + 6z - 12 = 0$

$-3x + 4y + 6z + 11 = 0$

$3x - 4y - 6z - 11 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (3t - 2, 1, 2t)$

(2) $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}, z=3$

(3) $(x, y, z) = (s, 2t - 1, t)$

(4) $3x - 4y - 6z - 11 = 0$