四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OBの中点をE、辺OCを2:1に内分する点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。ベクトルOA=$\vec{a}$、ベクトルOB=$\vec{b}$、ベクトルOC=$\vec{c}$とするとき、ベクトルOPを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OBの中点をE、辺OCを2:1に内分する点をFとする。三角形DEFの重心をGとし、直線OGと平面ABCの交点をPとする。ベクトルOA=$\vec{a}$、ベクトルOB=$\vec{b}$、ベクトルOC=$\vec{c}$とするとき、ベクトルOPを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点D, E, Fの位置ベクトルを求めます。

点Dは辺OAを1:2に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{a}$

点Eは辺OBの中点なので、

$\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{b}$

点Fは辺OCを2:1に内分するので、

$\vec{OF} = \frac{2}{3}\vec{c}$

次に、三角形DEFの重心Gの位置ベクトルを求めます。

$\vec{OG} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3} = \frac{\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}}{3} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

点Pは直線OG上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OP} = k\vec{OG} = \frac{k}{9}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{b} + \frac{2k}{9}\vec{c}$

と表すことができます。

また、点Pは平面ABC上にあるので、$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$と表すことができます（$s$と$t$は実数）。

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

したがって、

$\frac{k}{9} = 1 - s - t$

$\frac{k}{6} = s$

$\frac{2k}{9} = t$

これらの式から$s$と$t$を消去します。

$\frac{k}{9} = 1 - \frac{k}{6} - \frac{2k}{9}$

$\frac{k}{9} + \frac{k}{6} + \frac{2k}{9} = 1$

$\frac{2k + 3k + 4k}{18} = 1$

$\frac{9k}{18} = 1$

$\frac{k}{2} = 1$

$k = 2$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{2}{6}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c}$