四面体OABCにおいて、辺ABを4:5に内分する点をDとし、線分CDを7:3に内分する点をPとする。 $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを4:5に内分する点をDとし、線分CDを7:3に内分する点をPとする。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Dが辺ABを4:5に内分することから、$\vec{OD}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表します。内分点の公式より、

$\vec{OD} = \frac{5\vec{a} + 4\vec{b}}{4+5} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

次に、点Pが線分CDを7:3に内分することから、$\vec{OP}$ を $\vec{OC}$ と $\vec{OD}$ を用いて表します。内分点の公式より、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OC} + 7\vec{OD}}{7+3} = \frac{3}{10}\vec{OC} + \frac{7}{10}\vec{OD}$

$\vec{OC} = \vec{c}$ と $\vec{OD} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$ を代入します。

$\vec{OP} = \frac{3}{10}\vec{c} + \frac{7}{10}\left(\frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}\right)$

$\vec{OP} = \frac{3}{10}\vec{c} + \frac{35}{90}\vec{a} + \frac{28}{90}\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{7}{18}\vec{a} + \frac{14}{45}\vec{b} + \frac{3}{10}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{7}{18}\vec{a} + \frac{14}{45}\vec{b} + \frac{3}{10}\vec{c}$