(1) 直線 $l: \frac{x+2}{3} = \frac{z}{2}$ かつ $y=1$ をパラメータ表示せよ。 (2) 2点 $A(2,-1,3), B(4,2,3)$ を通る直線 $m$ の方程式を求めよ。 (3) 平面 $\alpha: y - 2z + 1 = 0$ をパラメータ表示せよ。 (4) 3点 $P(1,-5,2), Q(3,1,-1), R(1,-2,0)$ を含む平面 $\beta$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $l: \frac{x+2}{3} = \frac{z}{2}$ かつ $y=1$ をパラメータ表示せよ。

(2) 2点 $A(2,-1,3), B(4,2,3)$ を通る直線 $m$ の方程式を求めよ。

(3) 平面 $\alpha: y - 2z + 1 = 0$ をパラメータ表示せよ。

(4) 3点 $P(1,-5,2), Q(3,1,-1), R(1,-2,0)$ を含む平面 $\beta$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ のパラメータ表示

$\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2} = t$ とおく。

すると、 $x+2 = 3t$ より $x = 3t - 2$。

また、$z = 2t$ である。

$y = 1$ は与えられている。

したがって、直線 $l$ のパラメータ表示は、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

(2) 直線 $m$ の方程式

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

直線 $m$ の方程式は、点 $A(2,-1,3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ を持つ直線であるから、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

これを成分で表すと、

$x = 2 + 2t$

$y = -1 + 3t$

$z = 3$

したがって、$\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}, z=3$

(3) 平面 $\alpha$ のパラメータ表示

$y - 2z + 1 = 0$ より $y = 2z - 1$

$x = s, z = t$ とおくと、$y = 2t - 1$

したがって、平面 $\alpha$ のパラメータ表示は、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

(4) 平面 $\beta$ の方程式

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{PR} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ で与えられる。

$\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6(-2) - (-3)(3) \\ (-3)(0) - (2)(-2) \\ 2(3) - 6(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 9 \\ 0 + 4 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$

平面 $\beta$ の方程式は、

$-3(x-1) + 4(y+5) + 6(z-2) = 0$

$-3x + 3 + 4y + 20 + 6z - 12 = 0$

$-3x + 4y + 6z + 11 = 0$

$3x - 4y - 6z - 11 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

(2) $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}, z=3$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(4) $3x - 4y - 6z - 11 = 0$