直角を挟む2辺の長さの和が6である直角三角形において、斜辺の長さの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が6である直角三角形において、斜辺の長さの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$ , $y$ とし、斜辺の長さを $z$ とします。

問題文より、$x + y = 6$ という条件があります。また、直角三角形なのでピタゴラスの定理より、$x^2 + y^2 = z^2$ が成り立ちます。

$x + y = 6$ より、$y = 6 - x$ と表せるので、これを $x^2 + y^2 = z^2$ に代入すると、

$x^2 + (6 - x)^2 = z^2$

$x^2 + 36 - 12x + x^2 = z^2$

$2x^2 - 12x + 36 = z^2$

$z^2 = 2(x^2 - 6x + 18) = 2((x - 3)^2 + 9) = 2(x - 3)^2 + 18$

$z^2$ が最小になるのは $x = 3$ のときで、このとき $z^2 = 18$ となります。

$z > 0$ なので、$z = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}$