平面上の任意の4点 A, B, C, D に対して、ベクトル $\vec{BC} + \vec{DA}$ に等しいベクトルを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

平面上の任意の4点 A, B, C, D に対して、ベクトル $\vec{BC} + \vec{DA}$ に等しいベクトルを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルの和の性質を利用します。

$\vec{BC}$ を $\vec{BA} + \vec{AC}$ と分解し、$\vec{DA}$ を $\vec{DC} + \vec{CA}$ と分解します。すると、

$\vec{BC} + \vec{DA} = \vec{BA} + \vec{AC} + \vec{DC} + \vec{CA}$

ここで、$\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$ なので、

$\vec{BC} + \vec{DA} = \vec{BA} + \vec{DC}$

$\vec{BA} + \vec{DC}$ をさらに分解することを考えます。$\vec{DC} = - \vec{CD}$ なので、

$\vec{BA} - \vec{CD}$と書き換えることができます。しかし、選択肢にこのようなベクトルはないため別の分解を試みます。

$\vec{DA}$ を $\vec{BA} - \vec{BD}$と書き換え、$\vec{BC} + \vec{DA}$ に代入します。

$\vec{BC} + \vec{DA} = \vec{BC} + \vec{BA} + \vec{AD}$

$=\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{AD}$

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

$=\vec{BA} + \vec{AD} + \vec{BC}$

ここで、

$\vec{DA} + \vec{AC} =\vec{DC}$

$\vec{BC} + \vec{DA}$

$= \vec{BC} + \vec{DA}$

$\vec{BC} + \vec{DA} = \vec{BA}+\vec{AC} + \vec{DA} = \vec{BA} +\vec{DC}$

$\vec{BC} + \vec{DA} = \vec{DC}+\vec{BA}$は

$\vec{BC} + \vec{DA} = \vec{BA}+\vec{AC}+\vec{DA}$

$=\vec{BA}+ \vec{DC}$

ここで, $\vec{AC} = \vec{DC}+\vec{DA}$

$=\vec{BC} = \vec{BA}+ \vec{AC}$

よって、 $\vec{BC} + \vec{DA}$ を $\vec{DC} + \vec{BA}$ と分解して、ベクトルと変形させることは難しいと考えられます。

$\vec{BC}+\vec{DA} = (\vec{DC}-\vec{DB}) + \vec{DA}$

3. 最終的な答え

選択肢に同じものが存在しないので、正解は存在しません。