次の不等式の表す領域を図示する問題です。 (1) $1 < x^2 + y^2 < 9$ (2) $16 \le x^2 + y^2 \le 25$

1. 問題の内容

次の不等式の表す領域を図示する問題です。

(1) $1 < x^2 + y^2 < 9$

(2) $16 \le x^2 + y^2 \le 25$

2. 解き方の手順

(1)

不等式 $1 < x^2 + y^2 < 9$ は、$x^2 + y^2 > 1$ かつ $x^2 + y^2 < 9$ を満たす領域を表します。

$x^2 + y^2 = 1$ は原点を中心とする半径1の円を表します。$x^2 + y^2 > 1$ はこの円の外側の領域を表します。ただし、円周上は含みません。

$x^2 + y^2 = 9$ は原点を中心とする半径3の円を表します。$x^2 + y^2 < 9$ はこの円の内側の領域を表します。ただし、円周上は含みません。

したがって、$1 < x^2 + y^2 < 9$ は、原点を中心とする半径1の円の外側かつ半径3の円の内側の領域を表します。境界の円周は含みません。

(2)

不等式 $16 \le x^2 + y^2 \le 25$ は、$x^2 + y^2 \ge 16$ かつ $x^2 + y^2 \le 25$ を満たす領域を表します。

$x^2 + y^2 = 16$ は原点を中心とする半径4の円を表します。$x^2 + y^2 \ge 16$ はこの円の外側の領域を表します。ただし、円周上を含みます。

$x^2 + y^2 = 25$ は原点を中心とする半径5の円を表します。$x^2 + y^2 \le 25$ はこの円の内側の領域を表します。ただし、円周上を含みます。

したがって、$16 \le x^2 + y^2 \le 25$ は、原点を中心とする半径4の円の外側かつ半径5の円の内側の領域を表します。境界の円周を含みます。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径1の円の外側で、かつ原点を中心とする半径3の円の内側の領域。ただし、円周は含まない。

(2) 原点を中心とする半径4の円の外側で、かつ原点を中心とする半径5の円の内側の領域。ただし、円周を含む。