一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DA}$の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DA}$の値を求める。

2. 解き方の手順

正六角形なので、$\overrightarrow{AB}$と他のベクトルとのなす角を考える。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$について

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$のなす角は120°である。

したがって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AF}| \cos 120^{\circ} = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$について

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{BC}$のなす角は60°である。

したがって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}| \cos 60^{\circ} = 2 \cdot 2 \cdot (\frac{1}{2}) = 2$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DA}$について

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{DA}$のなす角は180°である。

したがって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DA} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DA}| \cos 180^{\circ} = 2 \cdot 4 \cdot (-1) = -8$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = -2$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DA} = -8$