(1) ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (3, -1)$ のなす角 $\theta$ を求める。 (2) ベクトル $(\sqrt{3}, 1)$ と $30^\circ$ の角をなす単位ベクトルの成分を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (3, -1)$ のなす角 $\theta$ を求める。

(2) ベクトル $(\sqrt{3}, 1)$ と $30^\circ$ の角をなす単位ベクトルの成分を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2)$ のなす角 $\theta$ は、次の式で求められる。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-1) = 3 + 2 = 5$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\theta = 45^\circ$

(2)

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ とする。

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\vec{a}$ と $30^\circ$ の角をなす単位ベクトルを $\vec{e} = (x, y)$ とする。

$\vec{e}$ は単位ベクトルなので、$|\vec{e}| = 1$ であり、$x^2 + y^2 = 1$ である。

$\vec{a}$ と $\vec{e}$ のなす角が $30^\circ$ なので、

$\cos 30^\circ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e}}{|\vec{a}||\vec{e}|}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}x + y}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}x + y$

$y = \sqrt{3} - \sqrt{3}x = \sqrt{3}(1-x)$

$x^2 + (\sqrt{3}(1-x))^2 = 1$

$x^2 + 3(1-2x+x^2) = 1$

$x^2 + 3 - 6x + 3x^2 = 1$

$4x^2 - 6x + 2 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

$(2x - 1)(x - 1) = 0$

$x = 1/2, 1$

$x = 1/2$ のとき、 $y = \sqrt{3}(1 - 1/2) = \sqrt{3}/2$

$x = 1$ のとき、 $y = \sqrt{3}(1 - 1) = 0$

したがって、求める単位ベクトルは $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), (1, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 45^\circ$

(2) $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), (1, 0)$