円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x + y - 10 = 0$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 円と直線が接するとき、半径 $r$ の値を求めます。 (2) 円と直線が共有点をもつとき、半径 $r$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $3x + y - 10 = 0$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 円と直線が接するとき、半径 $r$ の値を求めます。

(2) 円と直線が共有点をもつとき、半径 $r$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が接するとき、円の中心(0,0)から直線までの距離が半径 $r$ に等しくなります。点と直線の距離の公式を用いて、円の中心から直線までの距離を求めます。

点$(x_0, y_0)$から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

円の中心(0,0)から直線 $3x + y - 10 = 0$ までの距離は、

$d = \frac{|3(0) + 1(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

したがって、$r = \sqrt{10}$ です。

(2) 円と直線が共有点をもつとき、円の中心から直線までの距離が半径 $r$ 以下になります。つまり、$r \geq \sqrt{10}$ であり、また $r > 0$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $r = \sqrt{10}$

(2) $r \geq \sqrt{10}$