放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を、直線 $y = -2$ に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を、直線 $y = -2$ に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

直線 $y = -2$ に関して対称移動するということは、$y$ 座標が $-2$ を中心に反転することを意味します。

まず、放物線上の任意の点 $(x, y)$ を考えます。この点が直線 $y = -2$ に関して対称移動した点を $(x, y')$ とします。

このとき、$y$ と $y'$ の中点が $-2$ になるので、

$$\frac{y + y'}{2} = -2$$

これを $y'$ について解くと、

$$y' = -4 - y$$

したがって、$y = 2x^2 - 4x + 1$ を上の式に代入すると、

$$y' = -4 - (2x^2 - 4x + 1)$$

$$y' = -4 - 2x^2 + 4x - 1$$

$$y' = -2x^2 + 4x - 5$$

よって、求める放物線の方程式は $y = -2x^2 + 4x - 5$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 4x - 5$