与えられた条件に基づいて、極座標 $(r, \theta)$ の範囲を理解し、それを求める問題です。与えられた条件は $\cos \theta \ge 0$ であること、そして $0 \le r \le 2\sin \theta$ および $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であることです。

1. 問題の内容

与えられた条件に基づいて、極座標 $(r, \theta)$ の範囲を理解し、それを求める問題です。与えられた条件は $\cos \theta \ge 0$ であること、そして $0 \le r \le 2\sin \theta$ および $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であることです。

2. 解き方の手順

$\cos \theta \ge 0$ という条件は、$\theta$ が第1象限または第4象限にあることを意味します。つまり、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。さらに、$r \ge 0$ という条件も与えられています。

与えられた範囲は $0 \le r \le 2\sin \theta$ および $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。これらは、極座標 $(r, \theta)$ の範囲を定めるものです。

$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であり、これは $\cos \theta \ge 0$ の条件と整合しています。

$r$ の範囲は $0 \le r \le 2\sin \theta$ であり、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $r$ がどのように変化するかを示しています。$\theta = 0$ のとき $r = 0$ であり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $r = 2$ です。

3. 最終的な答え

与えられた条件から、極座標 $(r, \theta)$ の範囲は以下のようになります。

$0 \le r \le 2\sin \theta$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$