半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の面積を $S_n$ とする。 (1) $S_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 半径 $r$ の円の面積を $S$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n = S$ であることを示せ。

## 解答

1. 問題の内容

半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の面積を $S_n$ とする。

(1) $S_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 半径 $r$ の円の面積を $S$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n = S$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 正 $n$ 角形は、円の中心から各頂点に線を引くことで、$n$ 個の合同な二等辺三角形に分割できる。それぞれの二等辺三角形の面積を求め、それを $n$ 倍することで正 $n$ 角形の面積 $S_n$ を求める。

二等辺三角形の頂角は $\frac{2\pi}{n}$ である。各二等辺三角形は、底辺の中点と円の中心を結ぶ線で2つの合同な直角三角形に分割できる。

それぞれの直角三角形において、斜辺の長さは $r$、角度は $\frac{\pi}{n}$ である。したがって、直角三角形の底辺の長さは $r \sin(\frac{\pi}{n})$ 、高さは $r \cos(\frac{\pi}{n})$ である。二等辺三角形の面積は $2 \times \frac{1}{2} \times r \sin(\frac{\pi}{n}) \times r \cos(\frac{\pi}{n}) = r^2 \sin(\frac{\pi}{n}) \cos(\frac{\pi}{n})$ となる。

したがって、$S_n$ は次のようになる。

$$S_n = n r^2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{n r^2}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$

(2) 半径 $r$ の円の面積 $S$ は $S = \pi r^2$ である。$\lim_{n \to \infty} S_n = \pi r^2$ を示す。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n r^2}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ を考える。

$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ である。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{x \to 0} \frac{r^2}{2x} \sin(2\pi x) = \lim_{x \to 0} \pi r^2 \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x} = 1$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \pi r^2 = S$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{n r^2}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

(2) $\lim_{n \to \infty} S_n = \pi r^2 = S$