a を正の定数とする。平面上に $\triangle ABC$ と点 $P$ があり、$\vec{AP} + 3\vec{BP} + a\vec{CP} = \vec{0}$ を満たしている。このとき、$\vec{AP} = \frac{\text{ア}}{a+\text{イ}} \vec{AB} + \frac{a}{a+\text{ウ}} \vec{AC}$ である。 (1) 直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。点 $D$ が辺 $BC$ を 4:3 に内分する点になるのは $a = \text{エ}$ のときである。 (2) $\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。$PG$ と $AB$ が平行になるのは $a = \text{オ}$ のときである。このとき、$\triangle ABP$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の $\text{カ}/\text{キ}$ 倍である。

1. 問題の内容

a を正の定数とする。平面上に $\triangle ABC$ と点 $P$ があり、$\vec{AP} + 3\vec{BP} + a\vec{CP} = \vec{0}$ を満たしている。このとき、$\vec{AP} = \frac{\text{ア}}{a+\text{イ}} \vec{AB} + \frac{a}{a+\text{ウ}} \vec{AC}$ である。

(1) 直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。点 $D$ が辺 $BC$ を 4:3 に内分する点になるのは $a = \text{エ}$ のときである。

(2) $\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。$PG$ と $AB$ が平行になるのは $a = \text{オ}$ のときである。このとき、$\triangle ABP$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の $\text{カ}/\text{キ}$ 倍である。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP} + 3\vec{BP} + a\vec{CP} = \vec{0}$ を変形して $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表す。

$\vec{AP} + 3(\vec{AP} - \vec{AB}) + a(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$(1+3+a)\vec{AP} = 3\vec{AB} + a\vec{AC}$

$(4+a)\vec{AP} = 3\vec{AB} + a\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3}{4+a}\vec{AB} + \frac{a}{4+a}\vec{AC}$

したがって、アは3, イは4, ウは4。

(1) 点 $D$ が辺 $BC$ を 4:3 に内分するので、$\vec{AD} = \frac{3\vec{AB} + 4\vec{AC}}{7}$ である。点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、$\vec{AD} = k\vec{AP}$ となる実数 $k$ が存在する。よって、

$\frac{3\vec{AB} + 4\vec{AC}}{7} = k(\frac{3}{4+a}\vec{AB} + \frac{a}{4+a}\vec{AC})$

$\frac{3}{7}\vec{AB} + \frac{4}{7}\vec{AC} = \frac{3k}{4+a}\vec{AB} + \frac{ak}{4+a}\vec{AC}$

$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は一次独立なので、

$\frac{3}{7} = \frac{3k}{4+a}$

$\frac{4}{7} = \frac{ak}{4+a}$

$\frac{3}{7} = \frac{3k}{4+a}$ より $k = \frac{4+a}{7}$。これを $\frac{4}{7} = \frac{ak}{4+a}$ に代入すると、

$\frac{4}{7} = \frac{a}{4+a} \cdot \frac{4+a}{7}$

$\frac{4}{7} = \frac{a}{7}$

$a = 4$

したがって、エは4。

(2) $\triangle ABC$ の重心 $G$ について、$\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$。

$PG$ と $AB$ が平行なので、$\vec{PG} = k\vec{AB}$ となる実数 $k$ が存在する。

$\vec{PG} = \vec{AG} - \vec{AP} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3} - \frac{3}{4+a}\vec{AB} - \frac{a}{4+a}\vec{AC} = (\frac{1}{3} - \frac{3}{4+a})\vec{AB} + (\frac{1}{3} - \frac{a}{4+a})\vec{AC}$

$\vec{PG} = (\frac{4+a-9}{3(4+a)})\vec{AB} + (\frac{4+a-3a}{3(4+a)})\vec{AC} = (\frac{a-5}{3(4+a)})\vec{AB} + (\frac{4-2a}{3(4+a)})\vec{AC}$

$\vec{PG}$ が $\vec{AB}$ に平行であるためには、$\vec{AC}$ の係数が0になる必要がある。

$\frac{4-2a}{3(4+a)} = 0$

$4-2a = 0$

$2a = 4$

$a = 2$

したがって、オは2。

このとき、$\vec{AP} = \frac{3}{4+2}\vec{AB} + \frac{2}{4+2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{PG} = (\frac{2-5}{3(4+2)})\vec{AB} = \frac{-3}{18}\vec{AB} = -\frac{1}{6}\vec{AB}$

$\triangle ABP$ の面積を求める。点 $P$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$\triangle ABP$ の面積は $\frac{1}{2} |AB| |PH|$ である。$BC$ を底辺と見たとき高さの比率を考える。$\triangle ABP$ の面積を $\triangle ABC$ の面積を使って表すことを目指す。

$A, B, C, P$ の位置関係を確認する。$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$ より、点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部に位置する。

$S_{\triangle ABC}$ を $\triangle ABC$ の面積とする。

$\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$ より

$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$.

したがって、カは1, キは3。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 4

ウ: 4

エ: 4

オ: 2

カ/キ: 1/3