太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生は常に同じ手を出す。以下の確率や期待値を求める問題。 (1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率、ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率 (2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さん、花子さん、月子さんが勝ち残る確率。太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率。勝ち残っている生徒の人数の期待値。 (3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生は常に同じ手を出す。以下の確率や期待値を求める問題。

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率、ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さん、花子さん、月子さんが勝ち残る確率。太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率。勝ち残っている生徒の人数の期待値。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけん

先生は常にパーを出す。

太郎さんが勝ち残るには、太郎さんがチョキを出す必要がある。

太郎さんがチョキを出す確率は1/3。よって、太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$。

ちょうど2人の生徒が勝ち残るには、太郎さんと花子さんがチョキ、次郎さんと月子さんがパーを出す必要がある。

太郎さんと花子さんがチョキを出す確率は $(1/3)*(1/3) = 1/9$。次郎さんと月子さんがパーを出す確率は $(1/3)*(1/3) = 1/9$。

よって、ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は $1/9$。

(2) 2回目のじゃんけん

太郎さんが勝ち残る確率は、1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残った上で、2回目のじゃんけんで太郎さんが勝つ確率を求める。

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は1/3。このとき、太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんのうち何人が勝ち残っているかで場合分けが必要になる。

しかし、2回目のじゃんけんは、太郎さんと先生の1対1のじゃんけんなので、太郎さんが勝つ確率は1/3。

よって、太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$。

花子さんが勝ち残る確率は同様に1/3。

月子さんが勝ち残っていない確率は、$1 - 1/3 = 2/3$

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は、太郎さんと花子さんは1回目のじゃんけんで勝ち残り、2回目のじゃんけんで2人とも勝ち残る確率なので $1/9$。

他の生徒が勝ち残らないようにするには、次郎さんと月子さんは1回目のじゃんけんで負ける必要がある。次郎さんと月子さんは1回目のじゃんけんでパーを出せば良いので確率は $1/9$。

$1/3^5$。

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は、0人、1人、2人、3人、4人の場合の確率をそれぞれ計算し、人数×確率の総和を求める。

難しい。

(3) 3回目のじゃんけんの後

難しい。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：3

カ：1

キ：3

コサ：1

シ：9

セ：

ソタ：