4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は毎回手を出し、生徒は先生に勝った場合のみ残る。あいこおよび負けた生徒は次の回に参加できない。勝ち残った生徒は再び先生とじゃんけんをする。このじゃんけんを複数回行い、各回のじゃんけんで特定の結果となる確率、および期待値を求める問題。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は毎回手を出し、生徒は先生に勝った場合のみ残る。あいこおよび負けた生徒は次の回に参加できない。勝ち残った生徒は再び先生とじゃんけんをする。このじゃんけんを複数回行い、各回のじゃんけんで特定の結果となる確率、および期待値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、先生が出す手がグー、チョキ、パーのいずれかの場合を考える。太郎さんが勝つには、先生がグーのとき太郎さんはパー、先生がチョキのとき太郎さんはグー、先生がパーのとき太郎さんはチョキを出す必要がある。それぞれの確率は1/3である。したがって、1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は1/3。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求める。まず、4人の中から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_2 = 6$ 通り。各生徒が勝つ確率は1/3, 負けるかあいこになる確率は2/3なので、2人が勝ち2人が負ける確率は$6 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 6 \times 1/9 \times 4/9 = 24/81 = 8/27$

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

まず、1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は1/3である。

太郎さんが勝ち残っていない確率は2/3である。

次郎さんが勝ち残っていない確率は4/9である。

花子さんが勝ち残っている確率は4/9である。

月子さんが勝ち残っていない確率は4/9である。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は16/81である。

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値を求める。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

また、3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率を求める。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: 3

(2)

カ: 4

キ: 9

ク: 5

ケ: 9

コサ: 16

シ: 13

ス: 9

(3)

セ:

ソタ:

チツテト: