AとBの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところでゲームを終える。引き分けがないとき、勝負の分かれ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

AとBの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところでゲームを終える。引き分けがないとき、勝負の分かれ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、Aが3回勝つ場合を考える。Aが3回目で勝つ場合、4回目で勝つ場合、5回目で勝つ場合を考える。Bが3回勝つ場合も同様に考える。

* Aが3回目で勝つ場合：AAA（1通り）

* Aが4回目で勝つ場合：3回目までにAが2回、Bが1回勝つ必要があるので、並べ方は ${}_3 \mathrm{C}_2 = 3$通り。4回目は必ずAが勝つので、合計3通り。具体的には、BAAA, ABAA, AABA。

* Aが5回目で勝つ場合：4回目までにAが2回、Bが2回勝つ必要があるので、並べ方は ${}_4 \mathrm{C}_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。5回目は必ずAが勝つので、合計6通り。具体的には、BBAAA, BABAA, BAABA, ABBAA, ABABA, AABBA。

したがって、Aが勝つ場合の数は $1 + 3 + 6 = 10$通り。

同様に、Bが勝つ場合の数も10通り。

したがって、勝負の分かれ方は、Aが勝つ場合とBが勝つ場合を合わせて、$10 + 10 = 20$通り。

3. 最終的な答え

20通り