ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、c大学を受験した人は何人か、つまり $n(C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。

$n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$

のとき、c大学を受験した人は何人か、つまり $n(C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

包除原理を用いる。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

また、 $n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$ より、 $n(B \cap C) = n(B) + n(C) - n(B \cup C)$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$ より、$n(C) = n(C \cup A) - n(A) + n(C \cap A)$

$n(C) = 78 - 65 + 11 = 24$

$n(B \cap C) = 40 + 24 - 55 = 9$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 95 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 4$

$n(C) = n(C \cap A) + n(C \cap B) - n(A \cap B \cap C) + n(Cのみ)$

$24 = 11 + 9 - 4 + n(Cのみ)$

$24 = 16 + n(Cのみ)$

$n(Cのみ) = 8$

$n(C) = 24$

3. 最終的な答え

c大学を受験した人数は24人。