ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$ このとき、c大学を受験した人は何人か、すなわち $n(C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。

$n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$

このとき、c大学を受験した人は何人か、すなわち $n(C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$ の公式を利用して、$n(B \cap C)$ を求める。

$n(B \cup C) = 55$ と $n(B) = 40$ を代入すると、

$55 = 40 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) = 15$ (1)

次に、$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B \cup C) - n(A \cap (B \cup C))$ の公式を利用する。

$n(A \cap (B \cup C)) = n((A \cap B) \cup (A \cap C)) = n(A \cap B) + n(A \cap C) - n((A \cap B) \cap (A \cap C))$

$= n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cup B \cup C) = 99, n(A) = 65, n(B \cup C) = 55, n(A \cap B) = 14, n(A \cap C) = 11$

$99 = 65 + 55 - n(A \cap (B \cup C))$

$n(A \cap (B \cup C)) = 65 + 55 - 99 = 21$

$n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C) = 21$

$14 + 11 - n(A \cap B \cap C) = 21$

$n(A \cap B \cap C) = 14 + 11 - 21 = 4$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$

$78 = n(C) + 65 - 11$

$n(C) = 78 - 65 + 11 = 24$

3. 最終的な答え

24人