2つの物体の運動方程式が与えられています。 $Ma = Mg - T$ $ma = T - mg$ ただし、$m, M, g$ は定数です。張力 $T$ と加速度 $a$ を、$m, M, g$ を用いて表してください。

1. 問題の内容

2つの物体の運動方程式が与えられています。

$Ma = Mg - T$

$ma = T - mg$

ただし、$m, M, g$ は定数です。張力 $T$ と加速度 $a$ を、$m, M, g$ を用いて表してください。

2. 解き方の手順

まず、2つの式を足し合わせます。

$Ma + ma = Mg - T + T - mg$

$Ma + ma = Mg - mg$

$a(M+m) = (M-m)g$

上記から、加速度 $a$ は

$a = \frac{M-m}{M+m}g$

次に、得られた $a$ を2番目の式に代入して、$T$ を求めます。

$ma = T - mg$

$T = ma + mg$

$T = m(a+g)$

ここで、$a$に求めた値を代入します。

$T = m(\frac{M-m}{M+m}g + g)$

$T = m(\frac{M-m}{M+m} + \frac{M+m}{M+m})g$

$T = m(\frac{M-m+M+m}{M+m})g$

$T = m(\frac{2M}{M+m})g$

$T = \frac{2Mm}{M+m}g$

3. 最終的な答え

$a = \frac{M-m}{M+m}g$

$T = \frac{2Mm}{M+m}g$