面積 $S = 100 \text{ cm}^2$、間隔 $d = 1 \text{ mm}$ の平行板コンデンサに $1000 \text{ V}$ の電圧を加えたときの、コンデンサの静電エネルギーと静電エネルギー密度を求める。コンデンサの内部は真空であるとする。

1. 問題の内容

面積 $S = 100 \text{ cm}^2$、間隔 $d = 1 \text{ mm}$ の平行板コンデンサに $1000 \text{ V}$ の電圧を加えたときの、コンデンサの静電エネルギーと静電エネルギー密度を求める。コンデンサの内部は真空であるとする。

2. 解き方の手順

まず、平行板コンデンサの静電容量 $C$ を求める。

次に、コンデンサに蓄えられる静電エネルギー $U$ を求める。

最後に、静電エネルギー密度 $u$ を求める。

(1) 静電容量 $C$ の計算:

平行板コンデンサの静電容量は、以下の式で与えられます。

$C = \epsilon_0 \frac{S}{d}$

ここで、$\epsilon_0$ は真空の誘電率で、$\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ です。

面積 $S$ と間隔 $d$ はそれぞれメートル単位に変換する必要があります。

$S = 100 \text{ cm}^2 = 100 \times (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$

$d = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$

よって、静電容量は、

$C = 8.854 \times 10^{-12} \frac{10^{-2}}{10^{-3}} = 8.854 \times 10^{-11} \text{ F}$

(2) 静電エネルギー $U$ の計算:

コンデンサに蓄えられる静電エネルギーは、以下の式で与えられます。

$U = \frac{1}{2} CV^2$

ここで、$V$ は電圧です。与えられた電圧は $V = 1000 \text{ V}$ です。

したがって、静電エネルギーは、

$U = \frac{1}{2} (8.854 \times 10^{-11}) (1000)^2 = \frac{1}{2} (8.854 \times 10^{-11}) (10^6) = 4.427 \times 10^{-5} \text{ J}$

(3) 静電エネルギー密度 $u$ の計算:

静電エネルギー密度は、静電エネルギーをコンデンサの体積で割ったものです。

コンデンサの体積は、$V_{\text{volume}} = S \times d$ で与えられます。

$V_{\text{volume}} = 10^{-2} \text{ m}^2 \times 10^{-3} \text{ m} = 10^{-5} \text{ m}^3$

したがって、静電エネルギー密度は、

$u = \frac{U}{V_{\text{volume}}} = \frac{4.427 \times 10^{-5}}{10^{-5}} = 4.427 \text{ J/m}^3$

3. 最終的な答え

静電エネルギー: $4.427 \times 10^{-5} \text{ J}$

静電エネルギー密度: $4.427 \text{ J/m}^3$