面積 $S = 100 \, \text{cm}^2$、間隔 $d = 1 \, \text{mm}$ の平行板コンデンサに $1000 \, \text{V}$ の電圧を加えたとき、導体板全体に働く静電気力 $F$ の方向と大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

面積 $S = 100 \, \text{cm}^2$、間隔 $d = 1 \, \text{mm}$ の平行板コンデンサに $1000 \, \text{V}$ の電圧を加えたとき、導体板全体に働く静電気力 $F$ の方向と大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、コンデンサの静電エネルギー $U$ を求めます。

$U = \frac{1}{2}CV^2$

ここで、$C$ はコンデンサの静電容量、$V$ は電圧です。平行板コンデンサの静電容量は、

$C = \epsilon_0 \frac{S}{d}$

で与えられます。ここで、$\epsilon_0$ は真空の誘電率であり、$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$です。

$S$ と $d$ の単位を SI 単位系に変換します。

$S = 100 \, \text{cm}^2 = 100 \times (10^{-2} \, \text{m})^2 = 10^{-2} \, \text{m}^2$

$d = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}$

したがって、

$C = (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \times \frac{10^{-2} \, \text{m}^2}{10^{-3} \, \text{m}} = 8.854 \times 10^{-11} \, \text{F}$

次に、静電エネルギー $U$ を計算します。

$U = \frac{1}{2} (8.854 \times 10^{-11} \, \text{F}) (1000 \, \text{V})^2 = 4.427 \times 10^{-5} \, \text{J}$

導体板に働く静電気力 $F$ は、静電エネルギー $U$ を距離 $d$ で微分することで求められます。

$F = -\frac{dU}{dd}$

ここで、$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\epsilon_0 \frac{S}{d}V^2$なので

$F = \frac{1}{2}\epsilon_0 \frac{S}{d^2}V^2 = \frac{U}{d}$

$F = \frac{4.427 \times 10^{-5} \, \text{J}}{10^{-3} \, \text{m}} = 4.427 \times 10^{-2} \, \text{N} \approx 0.044 \, \text{N}$

コンデンサの導体板間には正と負の電荷が蓄積されており、異符号の電荷は引き合うため、導体板に働く力は引き合う方向です。したがって、力は導体板が互いに引き合う方向に働きます。

3. 最終的な答え

静電気力の大きさ：$0.044 \, \text{N}$

方向：導体板が互いに引き合う方向