加法定理を用いて、次の三角関数の値を求める。 (1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$ (2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$

1. 問題の内容

加法定理を用いて、次の三角関数の値を求める。

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$

(2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$ の場合：

$\frac{7}{12}\pi$ を、加法定理が使えるような既知の角度の和または差で表す。

$\frac{7}{12}\pi = \frac{3}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{1}{4}\pi + \frac{1}{3}\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})$

加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いる。

$\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3})$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$ の場合：

$\cos(\frac{3}{4}\pi)$ は、単位円上で第2象限の角度であり、$\frac{\pi}{4}$ の角度から $\pi$ だけ回転した位置にある。

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$