$\sin x = \frac{1}{3}$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin 2x$ (2) $\cos 2x$ (3) $\tan 2x$

1. 問題の内容

$\sin x = \frac{1}{3}$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin 2x$

(2) $\cos 2x$

(3) $\tan 2x$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2x$ を求める。

倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を利用する。

$\sin x = \frac{1}{3}$ なので、$\cos x$ を求める必要がある。

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$\cos x \ge 0$ であるから、$\cos x = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

よって、

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

(2) $\cos 2x$ を求める。

倍角の公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用する。

$\cos 2x = (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$

または、$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2(\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

または、$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 - 1 = 2\times\frac{8}{9} - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$

(3) $\tan 2x$ を求める。

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ を利用する。

$\tan 2x = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \times \frac{9}{7} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2x = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

(2) $\cos 2x = \frac{7}{9}$

(3) $\tan 2x = \frac{4\sqrt{2}}{7}$