与えられた三角関数の式を、和積の公式を用いて変形する。 (1) $\sin 3x + \sin 7x$ (2) $4\cos 3x \cos 2x$解析学三角関数和積の公式三角関数の変形2025/4/301. 問題の内容与えられた三角関数の式を、和積の公式を用いて変形する。(1) sin3x+sin7x\sin 3x + \sin 7xsin3x+sin7x(2) 4cos3xcos2x4\cos 3x \cos 2x4cos3xcos2x2. 解き方の手順(1) 和積の公式 sinA+sinB=2sinA+B2cosA−B2\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}sinA+sinB=2sin2A+Bcos2A−B を用いる。A=3xA = 3xA=3x, B=7xB = 7xB=7x とすると、A+B2=3x+7x2=10x2=5x\frac{A+B}{2} = \frac{3x+7x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x2A+B=23x+7x=210x=5xA−B2=3x−7x2=−4x2=−2x\frac{A-B}{2} = \frac{3x-7x}{2} = \frac{-4x}{2} = -2x2A−B=23x−7x=2−4x=−2xよって、sin3x+sin7x=2sin5xcos(−2x)=2sin5xcos2x\sin 3x + \sin 7x = 2\sin 5x \cos (-2x) = 2\sin 5x \cos 2xsin3x+sin7x=2sin5xcos(−2x)=2sin5xcos2x (∵ cos(−x)=cosx\cos(-x) = \cos xcos(−x)=cosx)(2) 積和の公式 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A−B)2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A−B) を用いる。4cos3xcos2x=2(2cos3xcos2x)4\cos 3x \cos 2x = 2(2\cos 3x \cos 2x)4cos3xcos2x=2(2cos3xcos2x) と変形し、A=3xA = 3xA=3x, B=2xB = 2xB=2x とすると、A+B=3x+2x=5xA+B = 3x+2x = 5xA+B=3x+2x=5xA−B=3x−2x=xA-B = 3x-2x = xA−B=3x−2x=xよって、4cos3xcos2x=2(cos5x+cosx)=2cos5x+2cosx4\cos 3x \cos 2x = 2(\cos 5x + \cos x) = 2\cos 5x + 2\cos x4cos3xcos2x=2(cos5x+cosx)=2cos5x+2cosx3. 最終的な答え(1) 2sin5xcos2x2\sin 5x \cos 2x2sin5xcos2x(2) 2cos5x+2cosx2\cos 5x + 2\cos x2cos5x+2cosx