問題は、以下の2つの関数について、それぞれの導関数を求めることです。 (a) $y = x^x$ ($x > 0$) (b) $y = \arctan x$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの関数について、それぞれの導関数を求めることです。

(a) $y = x^x$ ($x > 0$)

(b) $y = \arctan x$

2. 解き方の手順

(a) $y = x^x$ の場合：

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(b) $y = \arctan x$ の場合：

$y = \arctan x$ より $x = \tan y$です。

$x$ を $y$ で微分します。

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy} (\tan y) = \sec^2 y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\sec^2 y} = \cos^2 y$

ここで、$\cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

3. 最終的な答え

(a) $y = x^x$ の導関数: $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

(b) $y = \arctan x$ の導関数: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$