$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{3}$ (2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x \le \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x \le \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{3}$ を解きます。

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) = 2\left(\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

したがって、方程式は $2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ となります。

両辺を2で割ると、$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ より、

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

(2) 不等式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x \le \sqrt{3}$ を解きます。

(1)と同様に、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le \sqrt{3}$.

両辺を2で割ると、$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$-\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{11\pi}{6}$ の範囲で $\sin \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$-\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \theta < \frac{11\pi}{6}$.

したがって、$x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$ または $x - \frac{\pi}{6} \ge \frac{2\pi}{3}$.

$x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ または $x \ge \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \le x < 2\pi$