以下の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x)$ (2) $\lim_{x\to\infty} (a^x - b^x)$, ただし、$a > 1, b > 1$ (3) $\lim_{x\to\infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$ (4) $\lim_{x\to\infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x)$

(2) $\lim_{x\to\infty} (a^x - b^x)$, ただし、$a > 1, b > 1$

(3) $\lim_{x\to\infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$

(4) $\lim_{x\to\infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x)$

場合分けをします。

$a>2$ のとき、$2^x - a^x = a^x (\frac{2^x}{a^x} - 1) = a^x ((\frac{2}{a})^x - 1)$。$x\to\infty$のとき、$(\frac{2}{a})^x \to 0$なので、$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = -\infty$

$a=2$ のとき、$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = \lim_{x\to\infty} (2^x - 2^x) = 0$

$1<a<2$ のとき、$2^x - a^x = 2^x (1 - (\frac{a}{2})^x)$。$x\to\infty$のとき、$(\frac{a}{2})^x \to 0$なので、$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = \infty$

$a\leq1$ のとき、$a^x$は有界であるため、 $\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = \infty$

(2) $\lim_{x\to\infty} (a^x - b^x)$，ただし、$a > 1, b > 1$

場合分けをします。

$a>b$ のとき、$a^x - b^x = a^x (1 - (\frac{b}{a})^x)$。$x\to\infty$のとき、$(\frac{b}{a})^x \to 0$なので、$\lim_{x\to\infty} (a^x - b^x) = \infty$

$a=b$ のとき、$\lim_{x\to\infty} (a^x - b^x) = \lim_{x\to\infty} (a^x - a^x) = 0$

$a<b$ のとき、$a^x - b^x = b^x ((\frac{a}{b})^x - 1)$。$x\to\infty$のとき、$(\frac{a}{b})^x \to 0$なので、$\lim_{x\to\infty} (a^x - b^x) = -\infty$

(3) $\lim_{x\to\infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$

$a^x$で分子と分母を割ると、

$\lim_{x\to\infty} \frac{a^x}{1 + a^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{a^x} + 1}$

$a>1$なので、$x\to\infty$のとき、$\frac{1}{a^x} \to 0$

よって、$\lim_{x\to\infty} \frac{a^x}{1 + a^x} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

(4) $\lim_{x\to\infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$

$a^x$で分子と分母を割ると、

$\lim_{x\to\infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{1}{a^{2x}}}{1 + \frac{1}{a^{2x}}}$

$a>1$なので、$x\to\infty$のとき、$\frac{1}{a^{2x}} \to 0$

よって、$\lim_{x\to\infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

3. 最終的な答え

(1)

$a>2$ のとき、$-\infty$

$a=2$ のとき、0

$1<a<2$ のとき、$\infty$

$a\leq1$ のとき、$\infty$

(2)

$a>b$ のとき、$\infty$

$a=b$ のとき、0

$a<b$ のとき、$-\infty$

(3) 1

(4) 1