与えられた積分を計算します。問題は次の通りです。 $\int (\frac{1}{t^2} + \frac{3}{t^3}) dt$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。問題は次の通りです。

$\int (\frac{1}{t^2} + \frac{3}{t^3}) dt$

2. 解き方の手順

まず、積分をそれぞれの項に分けます。

$\int (\frac{1}{t^2} + \frac{3}{t^3}) dt = \int \frac{1}{t^2} dt + \int \frac{3}{t^3} dt$

次に、$\frac{1}{t^2}$ を $t^{-2}$ に、$\frac{1}{t^3}$ を $t^{-3}$ に書き換えます。

$\int t^{-2} dt + \int 3t^{-3} dt$

定数３を積分の外に出します。

$\int t^{-2} dt + 3\int t^{-3} dt$

次に、積分を計算します。$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ -1) を使用します。

$\int t^{-2} dt = \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = \frac{t^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{t} + C_1$

$\int t^{-3} dt = \frac{t^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{t^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2t^2} + C_2$

結果を元の式に代入します。

$-\frac{1}{t} + 3(-\frac{1}{2t^2}) + C$

整理します。

$-\frac{1}{t} - \frac{3}{2t^2} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは次のとおりです。

$-\frac{1}{t} - \frac{3}{2t^2} + C$