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与えられた関数の極限を計算します。 具体的には、$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$ の値を求めます。ただし、$a > 1$ であるとします。もし $0 < a < 1$ の場合、分子分母を $a^{-x}$ で割って考えます。

解析学極限関数の極限指数関数極限計算
2025/4/30

1. 問題の内容

与えられた関数の極限を計算します。
具体的には、lim⁡x→∞ax−a−xax+a−x\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} の値を求めます。ただし、a>1a > 1 であるとします。もし 0<a<10 < a < 1 の場合、分子分母を a−xa^{-x} で割って考えます。

2. 解き方の手順

まず、axa^x で分子と分母を割ります。
\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}}
x→∞x \to \infty のとき、a−2x=1a2x→0a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} \to 0 です。なぜなら、a>1a > 1 ならば a2xa^{2x} は無限大に発散するからです。したがって、
\lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1

3. 最終的な答え

1

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